泛函分析笔记：$C_0$-半群与生成元理论

1. $C_0$-半群的定义与性质

1.1 定义

设 $X$ 是 Banach 空间, $\{T(t)\}_{t\geqslant0}$ 是一族有界线性算子，若满足：

1. 半群性质（半群律）：

   $$T(0) = I, \quad T(t+s) = T(t)T(s), \quad \forall t, s \geqslant 0$$

2. 强连续性： 对任意 $x\in X$，映射

   $$t \mapsto T(t)x$$

   在 $[0, \infty)$ 上连续。

3. 有界性条件： 存在常数 $M \geqslant 1$ 和 $\omega \in \mathbb{R}$，使得：

   $$\|T(t)\| \leqslant Me^{\omega t}, \quad \forall t \geqslant 0$$

则称 $\{T(t)\}_{t\geqslant 0}$ 为 Banach 空间上的 $C_0$-半群（或 强连续半群）。

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2. 生成元的定义

2.1 无穷小生成元

设 $\{T(t)\}_{t\geqslant 0}$ 是 $C_0$-半群。定义算子 $A$ 为：

$$Ax = \lim_{t\to 0^+} \frac{T(t)x - x}{t}$$

定义域：

$$D(A) = \left\{ x \in X : \lim_{t\to 0^+} \frac{T(t)x - x}{t} \text{ 存在} \right\}$$

则称 $A$ 为半群的无穷小生成元。

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3. Hille-Yosida 定理

3.1 定理内容

设 $A$ 是 Banach 空间上的线性算子，则以下条件等价：

1. $A$ 是某个 $C_0$-半群的生成元。

2. 存在常数 $M \geqslant 1$ 和 $\omega \in \mathbb{R}$，使得对于任意 $\lambda > \omega$，算子

   $$R(\lambda, A) = (\lambda I - A)^{-1}$$

   满足：

   • 定义在整个空间 $X$ 上。
   • $|R(\lambda, A)| \leqslant \frac{M}{\lambda - \omega}$
   • $R(\lambda, A)$ 是有界线性算子。

3.2 推论

对于任意 $\lambda > \omega$，

$$(\lambda I - A)D(A) = X$$

特别地，取 $\lambda = 1$，若 $\omega \leqslant 0$，则：

$$(I - A)D(A) = X$$

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4. 预解算子

4.1 定义

对于 $\lambda > \omega$，定义算子

$$R(\lambda, A) = (\lambda I - A)^{-1}$$

称为预解算子（Resolvent Operator）。

4.2 性质

• $R(\lambda, A)$ 是有界线性算子。
• $R(\lambda, A)X = D(A)$.
• 对于不同的 $\lambda$，有解析性质： $$R(\lambda, A) - R(\mu, A) = (\mu - \lambda)R(\lambda, A)R(\mu, A)$$

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5. 证明：$(I - A)D(A) = X$

5.1 满射性证明

由 Hille-Yosida 定理可知，

$$(\lambda I - A)D(A) = X, \quad \forall \lambda > \omega$$

取 $\lambda = 1$，如果 $\omega \leqslant 0$，则

$$(I - A)D(A) = X$$

5.2 直观理解

算子 $I - A$ 将稠密子集 $D(A)$ 映射到整个空间。这意味着虽然 $D(A)$ 只是一个稠密子集，但通过 $I - A$ 的作用，其像铺满整个空间。

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6. Laplace 算子举例

6.1 Laplace 算子的定义

在 Hilbert 空间 $X = L^2(\Omega)$ 上考虑 Laplace 算子：

$$Au = \Delta u, \quad u \in D(A) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$$

这里 $\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}$ 是 Laplace 算子。

6.2 Laplace 算子的半群

Laplace 算子生成一个 $C_0$-半群 $T(t) = e^{t\Delta}$，其表示扩散过程。这个半群描述了热方程的解：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u$$

6.3 生成元性质

Laplace 算子是一个对称的闭算子，并且满足：

$$(I - \Delta)D(A) = L^2(\Omega)$$

参考资料

1. Engel, K.-J., & Nagel, R. (2000). “One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.”
2. Pazy, A. (1983). “Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.”
3. Yosida, K. (1995). “Functional Analysis.”